Τύπος ακολουθίας Fibonacci: Πώς να βρείτε αριθμούς Fibonacci

Η ακολουθία Fibonacci είναι ένα μοτίβο αριθμών που επανεμφανίζεται σε όλη τη φύση.

Μετάβαση στην ενότητα

• Τι είναι η ακολουθία Fibonacci;
• Η προέλευση της ακολουθίας Fibonacci
• Τύπος Fibonacci Number
• Ακολουθία Fibonacci και Χρυσή αναλογία
• Ακολουθία Fibonacci στη φύση
• Μάθε περισσότερα
• Μάθετε περισσότερα για το MasterClass του Neil deGrasse Tyson's

Ο διάσημος αστροφυσικός Neil deGrasse Tyson σας διδάσκει πώς να βρίσκετε αντικειμενικές αλήθειες και να μοιράζεστε τα εργαλεία του για την επικοινωνία αυτού που ανακαλύπτετε.

Τι είναι η ακολουθία Fibonacci;

Η ακολουθία Fibonacci είναι ένας από τους πιο γνωστούς τύπους στη θεωρία αριθμών και μία από τις απλούστερες ακέραιες ακολουθίες που ορίζονται από μια γραμμική σχέση υποτροπής. Στην ακολουθία αριθμών Fibonacci, κάθε αριθμός στην ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που προηγούνται, με το 0 και το 1 ως τους δύο πρώτους αριθμούς. Η σειρά αριθμών Fibonacci ξεκινά ως εξής: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 και ούτω καθεξής. Η ακολουθία του Fibonacci είναι χρήσιμη για τις εφαρμογές της στα προχωρημένα μαθηματικά και στατιστικές, την επιστήμη των υπολογιστών, τα οικονομικά και τη φύση.

είναι κοτόπουλο ένα κρέας ή πουλερικό

Η προέλευση της ακολουθίας Fibonacci

Η ακολουθία Fibonacci εμφανίζεται για πρώτη φορά στα αρχαία σανσκριτικά κείμενα ήδη από το 200 π.Χ., αλλά η ακολουθία δεν ήταν ευρέως γνωστή στον δυτικό κόσμο μέχρι το 1202 όταν ο Ιταλός μαθηματικός Leonardo Pisano Bogollo το δημοσίευσε στο βιβλίο υπολογισμών του Liber Abaci . Ο Λεονάρντο πήγε επίσης από τον ομώνυμο Λεονάρντο της Πίζας, αλλά μόλις το 1838 οι ιστορικοί του έδωσαν το ψευδώνυμο Fibonacci (περίπου μεταφράστηκε σε «γιος του Bonacci»). Εκτός από τη διάδοση της ακολουθίας Fibonacci, το βιβλίο του Fibonacci Liber Abaci υποστήριξε τη χρήση ινδουιστικών-αραβικών αριθμών (1, 2, 3, 4, κ.λπ.) και βοήθησε στην αντικατάσταση του ρωμαϊκού αριθμητικού συστήματος (I, II, III, IV, κ.λπ.) σε όλη την Ευρώπη.

Σε Liber Abaci , η ακολουθία Fibonacci χρησιμοποιήθηκε στην πραγματικότητα για να απαντήσει σε ένα υποθετικό μαθηματικό πρόβλημα που αφορά την αύξηση του πληθυσμού των κουνελιών: Εάν ένα ζευγάρι ζευγαριών κουνελιών ζευγαρώσει στο τέλος κάθε μήνα, τότε γεννήστε ένα νέο ζευγάρι κουνελιών ένα μήνα μετά το ζευγάρωμα και όλα τα νέα ζεύγη τα κουνέλια ακολουθούν το ίδιο μοτίβο, πόσα ζευγάρια ή κουνέλια θα υπάρχουν σε ένα χρόνο; Δείτε πώς θα ξεκινήσετε να απαντάτε σε αυτό το πρόβλημα:

• Ξεκινάω με 1 ζευγάρι κουνελιών.
• Στο τέλος του πρώτου μήνα, υπάρχει ακόμη μόνο 1 ζευγάρι κουνελιών από τότε που έχουν ζευγαρώσει, αλλά δεν έχουν γεννήσει ακόμη.
• Στο τέλος του δεύτερου μήνα, υπάρχουν δύο ζευγάρια κουνελιών από το πρώτο ζευγάρι τώρα έχουν γεννήσει ένα δεύτερο ζευγάρι.
• Στο τέλος του τρίτου μήνα, υπάρχουν 3 ζευγάρια κουνελιών. Αυτό συμβαίνει επειδή το πρώτο ζευγάρι έχει γεννήσει ένα τρίτο ζεύγος, αλλά το δεύτερο ζευγάρι έχει ζευγαρώσει μόνο.
• Στο τέλος του τέταρτου μήνα, υπάρχουν τώρα 5 ζευγάρια κουνελιών. Αυτό συμβαίνει επειδή το πρώτο ζευγάρι έχει γεννήσει ένα άλλο ζευγάρι και το δεύτερο ζευγάρι έχει γεννήσει το πρώτο τους ζευγάρι.

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό το μοτίβο 1, 1, 2, 3, 5 ακολουθεί την ακολουθία Fibonacci. Εάν συνεχίσετε για 12 μήνες, ο αριθμός των ζευγαριών θα είναι ίσος με 144.

Τύπος Fibonacci Number

Για να υπολογίσετε κάθε διαδοχικό αριθμό Fibonacci στη σειρά Fibonacci, χρησιμοποιήστε τον τύπο

όπου 𝐹 είναι 𝑛 ο αριθμός Fibonacci στη σειρά, και οι δύο πρώτοι αριθμοί, 𝐹0 και and1, ορίζονται στα 0 και 1 αντίστοιχα.

Το μόνο πρόβλημα με αυτόν τον τύπο είναι ότι είναι ένας αναδρομικός τύπος, που σημαίνει ότι ορίζει κάθε αριθμό της ακολουθίας χρησιμοποιώντας τους προηγούμενους αριθμούς. Έτσι, εάν θέλετε να υπολογίσετε τον δέκατο αριθμό στην ακολουθία Fibonacci, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τον ένατο και τον όγδοο, αλλά για να πάρετε τον ένατο αριθμό θα χρειαστείτε τον όγδοο και έβδομο και ούτω καθεξής.

Για να βρείτε οποιονδήποτε αριθμό στην ακολουθία Fibonacci χωρίς κανέναν από τους προηγούμενους αριθμούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια έκφραση κλειστής μορφής που ονομάζεται τύπος Binet:

Στον τύπο του Binet, το ελληνικό γράμμα phi (φ) αντιπροσωπεύει έναν παράλογο αριθμό που ονομάζεται χρυσός λόγος: (1 + √ 5) / 2, ο οποίος στρογγυλοποιήθηκε στην πλησιέστερη θέση χιλιοστών ισούται με 1,618.

Ακολουθία Fibonacci και Χρυσή αναλογία

Η χρυσή αναλογία (ή χρυσή τομή) είναι ένας παράλογος αριθμός που προκύπτει όταν η αναλογία δύο αριθμών είναι η ίδια με την αναλογία του αθροίσματος τους προς το μεγαλύτερο από τους δύο αριθμούς. Η ακολουθία Fibonacci συνδέεται στενά με τη χρυσή αναλογία, καθώς καθώς αυξάνονται οι αριθμοί Fibonacci, ο λόγος οποιωνδήποτε δύο διαδοχικών αριθμών Fibonacci πλησιάζει και πλησιάζει στον χρυσό λόγο.

MasterClass

Προτείνεται για εσάς

Διαδικτυακά μαθήματα που διδάσκονται από τα μεγαλύτερα μυαλά του κόσμου. Επεκτείνετε τις γνώσεις σας σε αυτές τις κατηγορίες.

Διδάσκει Επιστημονική Σκέψη και Επικοινωνία

Διδάσκει τη διατήρηση

Διδάσκει την εξερεύνηση του διαστήματος

Διδάσκει την Επιστήμη του Καλύτερου ύπνου

καλύτερη θερμοκρασία για την αποθήκευση του κόκκινου κρασιού

Ακολουθία Fibonacci στη φύση

Σκεφτείτε σαν επαγγελματίας

Ο διάσημος αστροφυσικός Neil deGrasse Tyson σας διδάσκει πώς να βρίσκετε αντικειμενικές αλήθειες και να μοιράζεστε τα εργαλεία του για την επικοινωνία αυτού που ανακαλύπτετε.

Υπάρχει σημαντική παραπληροφόρηση σχετικά με το πού μπορείτε να βρείτε την ακολουθία Fibonacci και τη χρυσή αναλογία στον πραγματικό κόσμο. Παρά τα όσα μπορείτε να διαβάσετε, η χρυσή αναλογία δεν χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή των πυραμίδων στη Γκίζα και το κοχύλι του Ναυτίλου δεν αναπτύσσει νέα κύτταρα με βάση την ακολουθία Fibonacci.

Αλλά αυτές οι μαθηματικές ιδιότητες πίσω από την ακολουθία Fibonacci και το χρυσό λόγο εμφανίζονται σε όλη τη φύση με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε τη χρυσή αναλογία στη σπειροειδή διάταξη των φύλλων (που ονομάζεται φυλλοταξία) σε ορισμένα φυτά ή στο χρυσό σπειροειδές μοτίβο κουκουνάρι, κουνουπίδι, ανανά και τη διάταξη σπόρων σε ηλιοτρόπια. Επιπλέον, ο αριθμός των πετάλων σε ένα λουλούδι είναι συνήθως ένας αριθμός Fibonacci.

Περαιτέρω, το οικογενειακό δέντρο ενός κηφήνα μελισσών ακολουθεί την ακολουθία Fibonacci. Αυτό συμβαίνει επειδή ένα αρσενικό κηφήνας εκκολάπτει από ένα μη γονιμοποιημένο αυγό και έχει μόνο έναν γονέα, ενώ οι θηλυκές μέλισσες έχουν δύο γονείς. Αυτό οδηγεί σε ένα οικογενειακό δέντρο ενός drone που αποτελείται από έναν γονέα, δύο παππούδες, τρεις προ-παππούδες, πέντε προ-παππούδες και γιαγιάδες και ούτω καθεξής σε όλη τη σειρά Fibonacci.

Μάθε περισσότερα

Να πάρει το Ετήσια συνδρομή MasterClass για αποκλειστική πρόσβαση σε μαθήματα βίντεο που διδάσκονται από φωτιστικά επιχειρήσεων και επιστημών, συμπεριλαμβανομένων των Neil deGrasse Tyson, Chris Hadfield, Jane Goodall και πολλά άλλα.